この記事では電気回路の一種であるRC並列回路の過渡現象について取り扱います。
抵抗とキャパシタの並列接続からなる負荷と直流電源の間に設けられたスイッチをOFFからONにすることで過渡現象が生じます。過渡現象は電流と電圧の時間変化で表されますので、法則と初期/定常条件から式導出を行います。
目次
【まとめ】RC並列回路の過渡現象式(スイッチON)
最初にまとめです。
対象回路
本記事で対象とする回路はRC並列回路で、抵抗RとキャパシタCの並列接続からなる負荷に直流電源を接続したものです。
RCの負荷と電源側抵抗の間にはスイッチSWを設けています。
電源側抵抗は電流制限のために置いています。
このスイッチをONに切り替えることで生じる過渡現象について、以降で式導出の説明を行います。
過渡現象の求め方
以下の順番で過渡現象を表す電流\(i\)と電圧\(v\)の式導出を行います。
(1)初期状態と定常状態の条件を求める。
(2)スイッチをONにした回路で微分方程式を立てる。
(3)解を仮定して微分方程式を解く。
(4)解の未定定数を初期状態から決定する。
(1)初期状態、定常状態の条件
RC並列回路のスイッチがOFFになってから十分に時間が経った後に、スイッチをONにします。
このとき電源側抵抗による電流制限が無ければキャパシタンスにはいくらでも電流を流せることから、キャパシタンスは短絡状態にあるとみなすことができます。
そのため初期状態における電流は\(E/R_o\)[A]となります。
これが初期状態の条件です。
次にスイッチがONになってから時間が十分に経過した後の定常状態を考えます。
このとき、キャパシタには電荷が満たされそれ以上電流を流すことができないため、開放端状態とみなすことができます。
そのため、定常状態では\(i=E/(R_o+R)\)[A]となります。
これが定常状態の条件です。
(2)スイッチをONにした回路で微分方程式を立てる
RC並列回路のスイッチをONにすると過渡現象が起きます。
このときの\(i\)と\(v\)の向きは以下とします。
上記のRC並列回路に関して、キルヒホッフの法則、オームの法則、キャパシタンスの電荷と電圧の関係式から、以下が得られます。
以上より\(i\)に関する微分方程式を立てることができます。
(3)解を仮定して微分方程式を解く
次に過渡現象の解を仮定してRC並列回路の微分方程式を解きます。
解とその微分を以下のように仮定します。
これを微分方程式に代入すると、未定定数\(B\)が得られます。
\(B\)を仮定した解に代入し、未定定数\(A\)を\(A_1\)、\(A_2\)に置き直すと
未定定数\(A_1\)、\(A_2\)がまだ残っているので、次にこれを求めていきます。
(4)解の未定定数を求める
定常状態の条件より未定定数\(A_1\)が求まり、\(i\)は以下となります。
次に初期状態の条件より\(A_2\)を求め、最終的に\(i\)は次式となります。
これがRC並列回路のスイッチをONにしたときの過渡現象を表す式となります。
また、指数関数中の\(1/R_oC+1/RC\)は時定数と呼ばれ、記号\(\tau\)で表されます。
時定数はONになってから定常状態に収束するまでに要する時間に関わり、小さければ収束が速く、大きければ収束が遅くなります。
過渡現象における電圧
RC並列回路のスイッチをONにしたときの電源側抵抗の電圧は次式で表されます。
またキャパシタと負荷側抵抗の電圧は次式で表されます。
負荷側の個別電流
並列接続となっている負荷側抵抗とキャパシタの電流は、先に求めた電圧の式より以下となります。
以上がRC並列回路のスイッチをONにした時の過渡現象を表す式の導出となります。
その他
電気回路全般については以下をご覧下さい。
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