インダクタンス回路

【まとめ】インダクタンス回路

インダクタンス回路における交流電圧と電流の関係

交流回路では電圧と電流の位相が一致するとは限りません。
インダクタンス回路に交流電圧を加えたときに電流がどうなるのかをここでは説明します。

以下に交流電圧源にインダクタンスを接続しただけの簡単なインダクタンス回路を示します。

電源の電圧\(v\)[V]を次式で表します。

ここで、\(V_m\)は最大振幅[V]、\(\omega\)は角周波数[rad/s]、\(t\)は時間[s]、\(\varphi\)は位相[rad]を表しています。

インダクタンス\(L\)[H]に交流電流\(i\)が流れるとき、電流の変化とは逆方向に誘導起電力\(e_L\)[V]が生じます。

キルヒホッフの第２法則(電圧則)より交流電源の電圧\(v\)と誘導起電力\(e_L\)には以下の関係が成り立ちます。

上式を電流の微小変化量\(di\)の形に直し、積分をすると電流\(i\)が求まります。

上式を見ると、電流の位相は電圧に対し、\(-\varphi/2\)だけずれていることが分かります。

すなわち、インダクタンスに交流電圧を加えたとき、インダクタンスに流れる電流の位相は加えた電圧の位相より\(\varphi/2\)遅れるということです。

誘導性リアクタンス

電流の最大振幅は次式で表されます。

式中の\(X_L\)を誘導性リアクタンス(inductive reactance)と呼びます。

誘導性リアクタンスは交流電流が流れることを妨げる抵抗の一種であると考えることができます。

誘導性リアクタンスと周波数は比例の関係にあり、周波数が高くなるほど誘導性リアクタンスは大きくなり、電流が流れることを妨げます。

インダクタンス回路のフェーザ表示

上記のインダクタンス回路をフェーザ表示で計算した場合を次に示します。

電圧の複素表示とフェーザは以下の通りとなります。

次にリアクタンスのフェーザ表示ですが、こちらは誘導性リアクタンス\(X_L\)に複素数の\(j\)を掛けたものとなります。

電圧のフェーザ\(\dot{V}\)とリアクタンスのフェーザ\(\dot{X}\)から、電流のフェーザ\(\dot{I}\)は以下となります。

上記は直交座標表示で計算した場合ですが、極座標表示で計算すると以下となります。

直交座標表示と極座標表示で計算した結果を比較すると、\(\pi/2\)の遅れが\(-j\)に対応していることが分かります。

インダクタンス回路の波形とベクトル図

最後に波形とベクトル図がどうなるのかを示します。
以下の例は位相\(\varphi=0\)[rad]、\(V_m=1\)[V]、\(I_m=0.5\)[A]、\(X_L=2\)[Ω]の場合です。

波形の\(\pi/2\)の遅れが、ベクトル図では、電圧が実軸にあるのに対し、電流は虚軸上の負方向にベクトルが引かれることで表されます。