この記事では電気回路の一種であるRL直列回路の過渡現象について取り扱います。
抵抗RとインダクタLの直列接続から成る負荷と直流電源の間に設けられたスイッチをONからOFFにすることで過渡現象が生じます。過渡現象は電流と電圧の時間変化で表されますので、式導出をして求めます。
目次
【まとめ】RL直列回路の過渡現象(スイッチOFF)
最初にまとめです。
対象回路
本記事での対象回路はRL直列回路で、抵抗とインダクタの直列接続から成る負荷に直流電源を接続したものです。
RLの負荷と抵抗の間にはスイッチSW1、2を設けています。
この２つのスイッチのON、OFFを切り替えることで生じる過渡現象について以降で説明を行います。
過渡現象の求め方
以下の順番で過渡現象を表す電流と電圧の値を求めます。
(1)初期状態の条件を求める。
(2) イッチをOFFにした回路で微分方程式を立てる。
(3)解を仮定して微分方程式を解く。
(4)解の未定定数を初期状態から決定する。
(1)初期状態の条件
初期状態ではRL直列回路のSW1はONで、SW２はOFFとなっています。
また、SW1がONになってから十分に時間が経っているとします。
直流では角周波数\(\omega=0\)[Hz]であるため、インダクタLによるリアクタンスは\(X_L＝ωＬ=0\)[Ω]となります。
そのため、このとき流れる電流\(i(0)\)は\(i=Z/E=R/E\)[Ω]となります。
これが初期状態の条件です。
(2)スイッチをOFFにした回路で微分方程式を立てる
RL直列回路のスイッチSW1をOFFにすると過渡現象が起きます。
SW1をOFFにするだけだと電流が流れないため、SW2をONにしてR,L,SW2による閉回路を作り電流を流します。
上記のRL直列回路に関して、キルヒホッフの第2法則(電圧則)、オームの法則、誘導起電力から、以下が得られます。
以上より\(i\)に関する微分方程式を立てることができます。
(3)解を仮定して微分方程式を解く
次に過渡現象の解を仮定してRL直列回路の微分方程式を解きます。
解とその微分を以下のように仮定します。
これを微分方程式に代入すると、以下のように解くことができます。
式(5),(7)より\(i\)は、以下となります。
未定定数\(A\)がまだ残っているので、次に\(A\)を求めていきます。
(4)解の未定定数を求める
過渡現象が始まる前の初期状態の条件より、未定定数\(A\)は以下となります。
求めた未定定数\(A\)を代入すると、￥(i\)は以下となります。
これがRL直列回路のスイッチをOFFにしたときの過渡現象を表す式となります。
また、指数関数中の\(-R/L\)は時定数と呼ばれ、記号\(\tau\)で表されます。
時定数\(\tau\)は定常状態への収束時間に関わり、大きければ収束が速く、小さければ収束が遅くなります。
過渡現象における電圧
RL直列回路のスイッチをOFFにしたときの抵抗の電圧\(v_R\)は次式で表されます。
またインダクタの電圧、すなわち誘導起電力\(e_L\)は次式で表されます。
その他
電気回路全般については以下をご覧下さい。
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