この記事では電気回路の一種であるRC直列回路の過渡現象について取り扱います。
抵抗とキャパシタの直列接続からなる負荷と直流電源の間に設けられたスイッチをONからOFFにすることで過渡現象が生じます。過渡現象は電流と電圧の時間変化で表されますので、法則と初期条件から式導出を行います。
目次
【まとめ】RC直列回路の過渡現象式(スイッチOFF)
最初にまとめです。
対象回路
本記事で対象とする回路はRC直列回路で、抵抗RとキャパシタCの直列接続からなる負荷に直流電源を接続したものです。
RCの負荷と抵抗の間にはスイッチSW1を設けています。
また、SW1だけではOFFにした後にキャパシタから電荷が放電されません。
そのためSW2を設けてR,C,SW2からなる閉回路で放電できるようにしています。
このスイッチをOFFに切り替えることで生じる過渡現象について以降で式導出の説明を行います。
過渡現象の求め方
以下の順番で過渡現象を表す電流と電圧の式導出を行います。
(1)初期状態の条件を求める。
(2)スイッチをOFFにした回路で微分方程式を立てる。
(3)解を仮定して微分方程式を解く。
(4)解の未定定数を初期状態から決定する。
(1)初期状態の条件
いま、RC直列回路のスイッチSW1がONになってから十分に時間が経っているとします。
このとき電源電圧\(E\)[V]は全てキャパシタに加わっています。
次にスイッチSW1をOFF、SW2をONにします。
この状態では起電力はキャパシタの\(v_C=E\)[V]のみであり、R,C,SW2による閉回路に流れる電流は\(-E/R\)[A]となります。
これが初期状態の条件です。
(2)スイッチをOFFにした回路で微分方程式を立てる
RC直列回路のスイッチをOFFにすると過渡現象が起きます。
このときの電圧と電流の向きは以下とします。
上記のRC直列回路に関して、キルヒホッフの第2法則、オームの法則、キャパシタンスの電荷と電圧の関係式から、以下が得られます。
以上より\(i\)に関する微分方程式を立てることができます。
(3)解を仮定して微分方程式を解く
次に過渡現象の解を仮定してRC直列回路の微分方程式を解きます。
解とその微分を以下のように仮定します。
これを微分方程式に代入すると、未定定数\(B\)が得られます。
\(B\)を仮定した解に代入すると
未定定数\(A\)がまだ残っているので、次にこれを求めていきます。
(4)解の未定定数を求める
初期状態の条件より未定定数\(A\)は以下となります。
\(A\)が求まったので、\(i\)は次式となります。
これがRC直列回路のスイッチをOFFにしたときの過渡現象を表す式となります。
また、指数関数中の\(RC\)は時定数と呼ばれ、記号\(\tau\)で表されます。
時定数は定常状態に収束するまでの時間に関わり、小さければ収束が速く、大きければ収束が遅くなります。
過渡現象における電圧
RC直列回路のスイッチをOFFにしたときの抵抗の電圧は次式で表されます。
またキャパシタの電圧は次式で表されます。
以上がRC直列回路のスイッチをOFFにした時の過渡現象を表す式の導出となります。
その他
電気回路全般については以下をご覧下さい。
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