波形の合成 その2 (周波数が異なる場合)

【まとめ】波形の合成 その2 (周波数が異なる場合)

周波数が異なる波形の合成式

周波数の異なる2つの波形\(v_1\)、\(v_2\)を次のように表します。

ここで、\(\omega_1\)、\(\omega_1\)は角周波数、\(t\)は時間を表します。
最大振幅は1、位相は0としています。

\(v_1\)、\(v_2\)を合成した波形\(v_s\)は次の通りとなります。

ここで、\(\omega_c\)は\(\omega_1\)と\(\omega_2\)の中心角周波数、\(\Delta\omega\)は\(\omega_c\)からの\(\omega_1\)、\(\omega_2\)の周波数差で、次の式で表されます。

また、式導出の仮定は以下の通りとなります。

うなりの波形

上式から、周波数の異なる2つの波形を合成すると、中心角周波数\(\omega_c\)の正弦波の振幅が\(\Delta\omega\)で周期的に変動していることになります。

この変動のことをうなり(beat)と呼びます。

うなりの波形を以下に図示します。

振幅が最大となる点を腹、最小となる点を節と呼びます。

ここで、振幅の変動角周波数が\(\Delta\omega\)であるのに対し、うなりの角周波数は倍の\(2\Delta\omega\)となっていることに注意しましょう。
よって、うなりの周波数\(f_{beat}\)は次式で表されます。

すなわち、うなりの周波数は元の２つの正弦波の周波数差となります。
2つの周波数の差が大きい程うなりの周波数は高く、差が小さい程低くなります。

なぜうなりが生じるのか、波形から理解する

周波数が異なる２つの正弦波を合成するとうなりが生じることを、数式では理解できたと思いますが、波形からも理解しておきましょう。

腹と節の個所を拡大した図を以下に示します。

腹の部分では2つの波形の正負が一致する同相のような形となり、互いに強め合うために振幅が大きくなります。
一方、節の個所では2つの波形の正負が逆転する逆相のような形となり、互いに打ち消し合うため振幅が小さくなります。

このように、波形の正負関係が周波数が異なるため徐々にがずれていき、強め合ったり打ち消し合ったりを繰り返してうなりを形成します。