この記事では電気回路で用いられるノートンの定理について説明をします。
定理の式だけでは意味がよく分からないと思いますので、意味についても解説しています。
理解すると回路網の取り扱いが楽になりますので、双対の関係にあるテブナンの定理と合わせてぜひ覚えましょう。
【まとめ】ノートンの定理
ノートンの定理とは
ノートンの定理(Norton’s theorem)は、内部に電源を含み、任意の2つの端子a,bを有する回路網へ抵抗を接続したときに、抵抗に印加される電圧を表したものです。
端子a,bを短絡にした場合に流れる電流を\(I_𝑜\) 、合成コンダクタンスを\(G_𝑜\)とし、端子a,b間にコンダクタンス\(G_𝐿 \)を接続すると、\(G_𝐿 \)に印加される電圧\(V_L\)は、下図のように表すことができ、この式関係をノートンの定理といいます。
ここで回路網の中身は問わず、ブラックボックスとします。
ノートンの定理は直流だけでなく交流においても成り立ちます。
先ほどの図のコンダクタンスをアドミタンスに置き換えると以下になります。
また、合成コンダクタンス算出の際に電圧源は短絡、電流源は開放端として処理を行います。
なぜそうするのかは証明の個所で説明をします。
ノートンの定理の意味
定理の数式から以下のことが言えます。
回路網の任意の2端子に関する等価回路は、2端子間を短絡したときの電流に等しい電流源とその間の合成コンダクタンスとの並列回路で表すことができる。
つまり複雑な回路網をその出力特性から単純な等価回路に変換でき、回路の取り扱いが容易となります。
ノートンの定理の証明
証明を行うために、まず負荷コンダクタンス\(G_L\)の方へ並列に電流源を入れます。
この電流源はa,b間を短絡した電流\(I_o\)に等しくします。
この時にaから流れてくる電流は全て電流源に吸われるため、負荷コンダクタンス\(G_L\)に流れる電流\(I_s\)は、0となります。
次に重ね合せの理を用いて\(I_s\)の値を求めることにします。
右端の電流源\(I_o\)のみとした場合と、左端の回路網の電源のみとした場合の2つに分解します。
また、重ね合せの理を用いるため、無視する電圧源は短絡、電流源は開放端として扱います。
最後に重ね合せの理の結果から\(I_L\)を求め、\(G_L\)で割るとノートンの定理となります。
テブナンの定理との関係
テブナンの定理とノートンの定理は双対の関係にあります。
双対になっているのは電流と電圧、抵抗とコンダクタンス、開放と短絡です。
コメント