波形の合成 その3 (一般化)

【まとめ】波形の合成(一般化)

一般化した波形の合成式

一般化した波形の合成では、合成元である2つ正弦波の振幅、周波数、位相が異なることになります。
振幅\(V_{m1}\)、\(V_{m2}\)、角周波数\(\omega_1\)、\(\omega_2\)、位相\(\varphi_1\)、\(\varphi_2\)とすると正弦波\(v_1\)、\(v_2\)は以下の式となります。

上記の2式を合成すると以下となります。

これ以上の式変形をこのまま続けるのは難しいため、波形を観察してその特徴から中間式の仮定を行い、最後に中間式から一般化した式の導出を行います。

波形の観察と中間式の仮定

以下の図は上段と下段で振幅と位相を変えたものですが、これから以下のことがいえます。

• 振幅は\(V_{m1}\)を中心として\(V_{m1}-V_{m2}\)の範囲で変動する
• うなりの位相は2つの波形の位相差\(\varphi_1-\varphi_2\)にみに依存する
• うなりの周期は2つの波形の周波数差\(f_1-f_2\)の逆数である

以上から、以下のように式の仮定を一度行います。

下図のように上記の仮定式の波形と2つの波形の合成波形を比較すると次のことが分かります。

• 正弦波の周波数は2つの波形の中心周波数\(\omega_c\)ではなく、\(\omega_1\)である。

以上から式を以下のように仮定し直し、図示すると、2つの波形の合成波に近づいていることが分かる。

また、下図のように2つの波形の位相差を保ったまま位相を変化させると以下が分かる。

• 正弦波の位相は\(\varphi_1\)である。

以上の波形観察より、中間式は以下となる。

ここで後付けとなるが、第2項を追加して波形の大きさを合わせている。

中間式が2つの波形の合成であることの証明

この中間式が２つの波形の合成であることは実際に図示してみると分かります。

また、以下のように式変形をしていくと同じであることが分かります。

中間式から一般化した式の導出

中間式から式変形を行い、一般化した式にすると、以下となります。

式変形の仮定は以下となります。

一般化した式であることの証明例

最後に一般化した式であることの証明として、別の記事で紹介した、周波数が２つとも同じ場合と振幅が1、位相が0の場合と同じ式になることを示します。

周波数が2つとも同じ場合は\(\omega_1=\omega_2=\omega\)とおくと、以下のように式変形ができます。

振幅が１の場合は\(V_{m1}=V_{m2}=1\)、位相が０の場合は\(\varphi_1=\varphi_2=0\)とおくと、以下のように式変形ができます。

以上より、本記事で紹介した式が一般化された式であることが確認できます。